Struktur Aljabar 'Automorfisme'

Sedikit mengubek-ngubek automorfisme itu apa yaa..

AUTOMORFISME adalah isomorfis pada diri sendiri

Isomorfisma ф : G→G, yaitu isomorfisma dari G ke dirinya sendiri disebut

automorfisma pada G.

Contoh : (R,+), ф : R→R, ф(x)=3x

(R⁺,·), ф : R⁺→ R⁺, ф(x)=x²

A(G) : himpunan semua automorfisma pada G

Operasi pada A(G)

× : A(G)×A(G)→A(G)

Definisi × : (α,β)→αβ ,α,β Є A(G)

Contoh Soal : 

Untuk G=S₃ buktikan bahwa G » f(G).

            f(G)={Tg ½ Tg Î A (G)}, A (G)= himpunan semua automorfisma dari G

            xTg=g^-1xg, untuk semua xÎG.

Jawab: 

Misal: y: G ® f(G).

Akan ditunjukkan bahwa:         1. y homomorfisma

                                                2. y satu-satu

                                                3. y onto

Bukti: 1. ambil sebarang x, y Î G maka xyÎ G

            y(xy)= g^-1 (xy)g= g^-1(xgg^-1y)g= (g^-1xg)(g^-1yg)= y(x)y(y)

                        Jadi y adalah homomorfisma

            2. ambil sebarang x, y ÎG

                        Misalkan y(x)=y(y)

                        g^-1xg = g^-1yg

                        x = y            jadi y satu-satu.

            3. ambil sebarang y Π f(G)

                        Maka akan ditunjukkan bahwa y(x)=y

                        Bukti maka pilih x= gyg^-1

                        Sehingga: y(x)=g^-1xg = g^-1(gyg^-1)g = y

            Jadi dari (1), (2) dan (3) G » f(G).